Ripasso di algebra lineare: spazi vettoriali, basi, sottospazi e applicazioni
Sintesi
Lezione di ripasso di algebra lineare (richiami del corso triennale, prerequisiti del corso). Argomenti trattati:
- Basi e coordinate: ripasso di spazi vettoriali, basi, indipendenza lineare; perché le coordinate esistono e sono uniche se e solo se i generatori sono una base; coordinate nella base canonica di \(\mathbb{R}^n\).
- Dimensione: tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi; esempi (polinomi a grado limitato, funzioni su un insieme finito, funzioni \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)).
- Sottospazi vettoriali: descrizione in forma parametrica (equazioni parametriche) e cartesiana (equazioni condizioni), con il legame tra numero di parametri/equazioni e dimensione.
- Operazioni tra sottospazi: intersezione (sempre sottospazio), unione (in generale no), somma, formula di Grassmann, somma diretta e unicità della decomposizione.
- Richiami su applicazioni e composizione: definizione di funzione, composizione \(g\circ f\), non commutatività, con un’anteprima delle applicazioni lineari (argomento della prossima lezione).
- Lo studio di questa parte si basa sulle slide del corso di triennale (reperite online, un po’ più dettagliate della lezione): il corso copre esattamente quel materiale, niente di più (probabilmente qualcosa di meno).
- All’esame ci sarà (idealmente) una ventina di domande per materia (algebra lineare, analisi, statistiche); la lista delle domande verrà distribuita in forma di domande scritte durante il corso — all’esame una domanda per ciascuna delle tre aree.
- Prossimi incontri: venerdì online, poi mercoledì prossimo.
Basi e coordinate: ripasso
Spazi vettoriali, campi e basi
- \(K\) è un campo di numeri (detti scalari): si può immaginare \(K = \mathbb{R}\), ma potrebbero essere anche i complessi o altri campi.
- \(V\) è un insieme i cui elementi sono detti vettori, che si sommano tra loro e si moltiplicano per gli scalari di \(K\).
- Una lista di vettori \(v_1, \dots, v_n\) di \(V\) è una base di \(V\) se:
- genera \(V\): ogni elemento di \(V\) si scrive come combinazione lineare di \(v_1,\dots,v_n\);
- sono linearmente indipendenti. Sono state date due definizioni equivalenti:
- nessuno dei vettori è combinazione lineare degli altri;
- l’unica combinazione lineare di \(v_1,\dots,v_n\) che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli.
Teorema fondamentale. Un insieme di vettori è una base di \(V\) se e solo se per ogni \(v \in V\) esiste un’unica \(n\)-upla \((a_1,\dots,a_n)\) di scalari tale che \[v = a_1 v_1 + \dots + a_n v_n.\]
- “Generano” garantisce che i coefficienti \(a_i\) esistono; “linearmente indipendenti” garantisce che sono unici. I \(a_i\) si chiamano coordinate di \(v\) nella base \(v_1,\dots,v_n\).
Esempio guidato: quando le coordinate non sono uniche
Prendiamo in \(\mathbb{R}^2\) tre vettori \(v_1, v_2, v_3\) (dipendenti tra loro, ad esempio disposti in modo che siano tre direzioni in un piano):
- Generano \(\mathbb{R}^2\)? Sì.
- Sono linearmente indipendenti? No.
Quindi non è una base: le coordinate esistono ma non sono uniche. Ad esempio il vettore \((2,3)\) si può scrivere come
\[(2,3) = 2v_1 + 3v_2 + 0v_3 = 1v_1 + 2v_2 + 1v_3 = 0v_1 + 1v_2 + 2v_3\]
e in infiniti altri modi (anche con coefficienti negativi). In questo caso non si parla di coordinate, perché non sono uniche.
Altri due casi con un solo vettore, \(v_1 = (1,2)\):
- Lista \([v_1]\): non genera \(\mathbb{R}^2\) (genera solo la retta dei vettori la cui seconda coordinata è il doppio della prima). Quindi esistono vettori senza coordinate: ad esempio \((3,1)\) non si può scrivere come \(a_1 v_1\) per nessun \(a_1\), mentre \((-3,-6) = -3\,v_1\). Se aggiungo un secondo vettore \(v_2\) proporzionale a \(v_1\) (es. \(v_2 = (2,4)\)), la situazione non migliora: qualsiasi combinazione lineare di \(v_1, v_2\) sta ancora sulla retta \(\{y = 2x\}\).
- Se invece la lista genera una retta e prendo un vettore di quella retta, ad esempio \((1,2)\), allora ci sono infiniti modi di scriverlo come combinazione lineare di \(v_1\) e \(v_2\) (es. \(1v_1 + 0v_2\), oppure \(0v_1 + \tfrac12 v_2\)): esistono, ma non sono unici.
| I vettori… | Coefficienti \(a_i\) tali che \(v = \sum a_i v_i\) |
|---|---|
| generano e sono indipendenti (base) | esistono e sono unici → coordinate |
| generano ma sono dipendenti | esistono ma non sono unici |
| non generano | per qualche \(v\) non esistono |
Calcolo delle coordinate: risolvere un sistema
Sia \(v_1 = (1,1)\), \(v_2 = (1,-1)\): è una base di \(\mathbb{R}^2\). Per trovare le coordinate di \(v = (3,5)\) si scrive \(a_1 v_1 + a_2 v_2 = v\), cioè
\[a_1(1,1) + a_2(1,-1) = (3,5).\]
Due vettori sono uguali se e solo se le coordinate corrispondenti sono uguali, quindi:
\[\begin{cases} a_1 + a_2 = 3 \\ a_1 - a_2 = 5 \end{cases}\]
Sommando: \(2a_1 = 8 \Rightarrow a_1 = 4\); sottraendo: \(2a_2 = -2 \Rightarrow a_2 = -1\).
Verifica: \(4(1,1) - 1\,(1,-1) = (4,4) - (1,-1) = (3,5)\). Quindi le coordinate di \((3,5)\) nella base \((v_1, v_2)\) sono \((4, -1)\).
La trascrizione audio di questo passaggio era parzialmente disturbata (cifre con segni e ordine confusi); l’esempio sopra è la versione coerente con le equazioni del sistema e con la verifica finale \(4v_1 - v_2 = (3,5)\).
Le coordinate dipendono dalla base
Lo stesso vettore ha coordinate diverse in basi diverse. Con \(v = (3,5)\):
- nella base \(v_1 = (1,1)\), \(v_2 = (1,-1)\): coordinate \((4, -1)\);
- nella base canonica \(e_1 = (1,0)\), \(e_2 = (0,1)\): le coordinate sono banalmente \((3, 5)\), perché \(v = 3e_1 + 5e_2\).
La base canonica \(e_1, \dots, e_n\) di \(\mathbb{R}^n\) è speciale: le coordinate di un vettore in quella base sono esattamente i numeri scritti nella \(n\)-upla. Per questo colloquialmente si chiama “il vettore \((3,5)\)”: quelle sono le sue coordinate nella base canonica.
Dimensione di uno spazio vettoriale
Tutte le basi hanno lo stesso numero di elementi
Teorema (enunciato senza dimostrazione: non è banale, la dimostrazione è un po’ partcolare e vi è stata risparmiata anche nel corso di primo anno):
Tutte le basi di uno stesso spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi (la stessa cardinalità).
Quindi se \(v_1,\dots,v_n\) e \(u_1,\dots,u_m\) sono due basi dello stesso \(V\), allora \(n = m\): non può esistere una base di tre elementi e una di quattro dello stesso spazio.
Definizione (dimensione). Il numero \(n\) di elementi di una qualsiasi base di \(V\) si chiama dimensione di \(V\):
\[\dim V = \text{numero di elementi di una qualsiasi sua base}.\]
Esempi di dimensione
Polinomi a coefficienti in \(K\) di grado minore di \(L\). La dimensione è \(L\): una base è data dai monomi \[1,\ x,\ x^2,\ \dots,\ x^{L-1}.\] Ad esempio, i polinomi di grado minore di \(4\) hanno dimensione \(4\) (base \(1, x, x^2, x^3\)): ogni polinomio di grado \(< 4\) si scrive come combinazione lineare di questi.
Se invece non si impone nessun limite al grado, lo spazio \(K[x]\) di tutti i polinomi ha dimensione infinita (base \(1, x, x^2, x^3, \dots\)).
Esistono spazi vettoriali di dimensione infinita, e in un certo senso gli esempi “veramente interessanti” sono di questo tipo; in questo corso però ci si concentra sugli spazi di dimensione finita, perché sono più facili.
Funzioni da un insieme finito a \(\mathbb{R}\). Sia \(X = \{x_1, \dots, x_n\}\) un insieme di \(n\) punti e \(V\) lo spazio delle funzioni \(X \to \mathbb{R}\) (si potrebbero prendere valori in un campo \(K\) qualunque). Le operazioni sono definite punto per punto:
\[(f + g)(x_i) = f(x_i) + g(x_i), \qquad (\lambda f)(x_i) = \lambda f(x_i).\]
Una funzione su \(X\) è determinata dai suoi \(n\) valori \((f(x_1), \dots, f(x_n))\), quindi \(\dim V = n\). Una base è data dalle funzioni indicatrici (funzioni caratteristica) dei punti:
\[f_i = \text{funzione che vale } 1 \text{ su } x_i \text{ e } 0 \text{ su tutti gli altri punti}.\]
Ad esempio con \(n = 3\): \(f_1 = (1,0,0)\), \(f_2 = (0,1,0)\), \(f_3 = (0,0,1)\), e la funzione \(g\) che vale \(3\) su \(x_1\), \(-2\) su \(x_2\) e \(\tfrac{7}{2}\) su \(x_3\) si scrive
\[g = 3f_1 - 2f_2 + \tfrac{7}{2}f_3.\]
Verifica punto per punto: \((3f_1 - 2f_2 + \tfrac72 f_3)(x_1) = 3\cdot 1 - 2\cdot 0 + \tfrac72 \cdot 0 = 3\) ✓, e analogamente su \(x_2\) e \(x_3\). Anche questa è in un certo senso una base canonica: per trovare le coordinate di una funzione basta leggere i suoi valori sui punti.
Funzioni da \(\mathbb{R}\) in \(\mathbb{R}\). Qui il dominio ha infiniti elementi, quindi il ragionamento “un vettore base per ogni punto” darebbe una base infinita: lo spazio delle funzioni \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) ha dimensione infinita. La situazione non migliora nemmeno restringendo l’insieme di partenza all’intervallo \([0,1]\), che contiene comunque infiniti punti.
Sottospazi: forma parametrica e forma cartesiana
Impostazione
Sia \(V\) spazio vettoriale di dimensione \(n\) e \(U \subseteq V\) sottospazio vettoriale di dimensione \(k\), con \(0 \le k \le n\). Un sottospazio si può descrivere in due modi:
- forma parametrica: gli elementi di \(U\) descritti al variare di \(k\) parametri (ogni parametro corrisponde a un grado di libertà);
- forma cartesiana: gli elementi di \(U\) descritti come soluzioni di \(n - k\) equazioni (ogni equazione toglie un grado di libertà).
Esempio guidato: polinomi di grado < 5
Sia \(V\) lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado minore di \(5\): \[v(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4, \qquad a,b,c,d,e \in \mathbb{R},\] che ha dimensione \(5\) (base \(1, x, x^2, x^3, x^4\)).
Siano \[p_1(x) = 1 + 2x^2 + x^4, \qquad p_2(x) = x - x^3,\] e sia \(U = \mathrm{span}(p_1, p_2)\), cioè l’insieme di tutte le combinazioni lineari \(t\,p_1 + s\,p_2\) al variare di \(t, s \in \mathbb{R}\):
\[t\,p_1 + s\,p_2 = t + s\,x + 2t\,x^2 - s\,x^3 + t\,x^4.\]
Forma parametrica. La scrittura sopra descrive tutti gli elementi di \(U\) al variare simultaneo dei due parametri \(t\) e \(s\): il numero di parametri è uguale alla dimensione di \(U\).
Forma cartesiana. In alternativa, si può dire se un polinomio generico \(a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4\) appartiene a \(U\) imponendo condizioni sui coefficienti. Confrontando con la forma parametrica:
\[\boxed{\;a = e, \qquad c = 2a\;(=2e), \qquad d = -b\;}\]
Sono tre equazioni indipendenti in uno spazio di dimensione \(5\): ogni equazione toglie un grado di libertà, quindi \[\dim U = 5 - 3 = 2,\] in accordo col fatto che \(p_1\) e \(p_2\) sono linearmente indipendenti (non sono uno multiplo dell’altro). Ed \(U\) è definito come sottospazio di \(V\): \(U = \{v \in V : a = e,\ c = 2a,\ d = -b\}\); senza quelle condizioni l’insieme sarebbe tutto \(V\).
- Ogni parametro in più: un grado di libertà in più (una direzione in più in cui muoversi).
- Ogni equazione in più: un grado di libertà in meno (un vincolo sui coefficienti).
Analogia del treno (in \(\mathbb{R}^3\), su un binario): le equazioni parametriche dicono “quanti metri avanti/indietro” (un solo parametro \(t\)); le equazioni cartesiane vietano di andare destra/sinistra, su e giù, volare o andare sottoterra — ogni vietato è un’equazione, e l’unica direzione rimasta è quella del binario.
Analogia dello scultore: la forma parametrica è come modellare con l’argilla (si aggiunge materiale, un pezzo per parametro); la forma cartesiana è come la scultura nel marmo (si toglie un pezzo a ogni martellata, cioè a ogni equazione).
Perché servono entrambe le forme
- Lo span di vettori porta naturalmente alla forma parametrica: se \(U = \mathrm{span}(v_1, v_2, v_3)\), le combinazioni lineari sono espresse con tre parametri.
- Dalla forma parametrica è facile trovare una base: si mette un parametro uguale a \(1\) e tutti gli altri uguali a \(0\); ripetendo per ciascun parametro si ottengono i vettori di una base. (E viceversa, dando una base lo span restituisce la forma parametrica.)
- La forma cartesiana è comoda per intersecare sottospazi: si mettono insieme le equazioni dei due sottospazi in un sistema.
Dalla forma cartesiana alla parametrica
Se un sottospazio di \(\mathbb{R}^n\) è dato da \(n - k\) equazioni cartesiane, si scelgono \(k\) variabili libere come parametri e si esprimono le altre variabili in funzione di esse risolvendo/sostituendo nelle equazioni. Nell’esempio dei polinomi: ponendo \(a = t\), \(b = s\) si ottengono \(c = 2t\), \(d = -s\), \(e = t\), tornando alla forma parametrica di prima. La parametrizzazione non è unica: si può scegliere come parametro qualunque variabile (o combinazione), l’importante è averne esattamente \(k\) indipendenti.
- \(\mathbb{R}[x]_{<5}\) (polinomi di grado \(< 5\)) ha sempre dimensione \(5\): i cinque parametri \((a,b,c,d,e)\) sono la base \(1, x, x^2, x^3, x^4\).
- \(p_1, p_2\) non sono una base di \(V\) (mancano 3 vettori), ma sono una base del sottospazio \(U = \mathrm{span}(p_1,p_2)\) che generano. Per avere una base di \(V\) servono 5 vettori di \(V\) linearmente indipendenti: si può ad esempio completare la base di \(U\) aggiungendo vettori opportuni.
- La dimensione di un sottospazio è una cosa a parte: lo span di \(p_1,p_2\) non genera \(V\); solo prendendo 5 vettori di \(V\) ben fatti si genera tutto \(V\).
Intersezione e somma di sottospazi
Impostazione
Sia \(V\) spazio vettoriale e \(U, W\) sottospazi vettoriali di \(V\). Operazioni possibili:
- Intersezione \(U \cap W\) = vettori che appartengono a entrambi. È sempre un sottospazio vettoriale di \(V\): la somma di due vettori di \(U \cap W\) sta in \(U\) e in \(W\), e lo stesso vale per i multipli scalari. Nota: \(U \cap W\) non è mai vuoto, perché contiene sempre il vettore nullo.
- Unione \(U \cup W\): in generale non è un sottospazio. Controesempio in \(\mathbb{R}^2\): \(U = \{(x,0)\}\) (asse \(x\)), \(W = \{(0,y)\}\) (asse \(y\)). L’unione è una “croce”: prendendo \(u \in U\) e \(w \in W\), entrambi stanno nell’unione ma la loro somma \((x, y)\) con \(x,y \neq 0\) non sta né in \(U\) né in \(W\), quindi non sta nell’unione.
- Somma \(U + W = \mathrm{span}(U \cup W) = \{\,u + w : u \in U,\ w \in W\,\}\): è il sottospazio generato dall’unione, ed è la “cosa giusta” da fare quando l’unione non basta.
Formula di Grassmann
\[\dim(U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W).\]
Idea della dimostrazione: si parte da una base di \(U \cap W\); la si completa (aggiungendo vettori linearmente indipendenti) fino a una base di \(U\), e la si completa anche fino a una base di \(W\); mettendo insieme i vettori si ottiene una base di \(U + W\), da cui la formula contando quante volte è stato contato ogni vettore.
Somma diretta
Quando \(U \cap W = \{0\}\) (intersezione banale, solo il vettore nullo) la somma si dice somma diretta e si scrive \(U \oplus W\); in quel caso ogni vettore di \(U + W\) si scrive in modo unico come somma di un vettore di \(U\) e un vettore di \(W\).
Se l’intersezione non è banale, la scrittura non è unica: si può sempre sommare un vettore non nullo dell’intersezione al termine \(u\) e sottrarlo dal termine \(w\) senza cambiare il risultato, e questo si può fare in infiniti modi.
Esempio svolto in \(\mathbb{R}^3\)
Due sottospazi di \(\mathbb{R}^3\):
\[U = \mathrm{span}\big((1,2,0),\ (0,0,1)\big), \qquad W = \mathrm{span}\big((1,0,-1),\ (0,1,0)\big).\]
Forma parametrica:
\[U = \{\, t(1,2,0) + s(0,0,1) \,\} = \{\,(t,\ 2t,\ s)\,\}, \qquad W = \{\,(s,\ p,\ -s)\,\},\]
cioè \(U = \{(x,y,z) : y = 2x\}\) (piano) e \(W = \{(x,y,z) : z = -x\}\) (piano).
Attenzione: la forma parametrica non serve per intersecare, perché i parametri \(t, s\) di \(U\) e quelli di \(W\) sono “lettere diverse” e non si possono uguagliare tra loro. Per l’intersezione si passa alla forma cartesiana:
\[U \cap W = \{(x,y,z) : y = 2x \text{ e } z = -x\}.\]
Geometricamente: due piani di \(\mathbb{R}^3\) (dimensione \(2\) ciascuno) si intersecano in una retta (dimensione \(1\)).
Ritorno alla forma parametrica (per l’intersezione): ponendo \(x = t\) si ottiene \(y = 2t\), \(z = -t\): \[U \cap W = \{\, t(1, 2, -1) : t \in \mathbb{R} \,\}, \qquad \dim(U \cap W) = 1,\] e una base dell’intersezione è \((1,2,-1)\). La scelta del parametro è libera (avrebbe potuto scegliere \(z = t\), con un riscalamento dei coefficienti): non esiste una sola parametrizzazione “giusta”.
Somma con Grassmann: \[\dim(U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W) = 2 + 2 - 1 = 3.\] Un sottospazio di \(\mathbb{R}^3\) di dimensione \(3\) è solo \(\mathbb{R}^3\) stesso, quindi \(U + W = \mathbb{R}^3\). La somma non è diretta (l’intersezione non è banale): ogni vettore di \(\mathbb{R}^3\) si scrive come \(u + w\) ma non in modo unico.
Esempio di decomposizione non unica. Prendiamo \(v = (3, 2, -1)\):
\[v = \underbrace{(2,4,0)}_{\in\,U,\ y=2x} + \underbrace{(1,-2,-1)}_{\in\,W,\ z=-x}.\]
Ma \((1,2,-1)\) sta sia in \(U\) sia in \(W\) (cioè in \(U \cap W\)), quindi anche:
\[v = \underbrace{(3,6,-1)}_{(2,4,0) + (1,2,-1)\ \in\,U} + \underbrace{(0,-4,0)}_{(1,-2,-1) - (1,2,-1)\ \in\,W},\]
e si può verificare che \((3,6,-1) + (0,-4,0) = (3,2,-1)\). Sommando \(k\) volte \((1,2,-1)\) al primo vettore e sottraendolo \(k\) volte dal secondo (con \(k\) intero qualsiasi, anche \(7\) o \(11\)) si ottengono infiniti modi di scrivere \(v\).
Nella trascrizione alcune cifre di questo esempio erano disturbate; i numeri sopra sono la ricostruzione coerente con i sottospazi dell’esempio (\(U: y = 2x\), \(W: z = -x\)) e con la struttura del ragionamento del professore (somma di un vettore dell’intersezione).
Contesto: questa parte è un rinfrescata di memoria: questi argomenti sono già stati visti al primo anno con molti esempi ed esercizi; non ci sarà un compito scritto, quindi non serve velocità di calcolo, ma serve avere le idee chiare.
Applicazioni e composizione (richiami)
Che cos’è una funzione
Un’applicazione (o funzione) \(f : X \to Y\) è una legge che associa a ogni elemento di \(X\) un unico elemento di \(Y\) (\(y = f(x)\)). Tre situazioni da non confondere:
| Situazione | È una funzione? |
|---|---|
| un \(x \in X\) associato a due elementi di \(Y\) | ❌ no |
| un \(x \in X\) associato a nessun elemento di \(Y\) | ❌ no |
| a due elementi di \(X\) è associato lo stesso \(y\); qualche \(y\) non è associato a nessun \(x\) | ✔️ sì (non sarà iniettiva né suriettiva, ma è comunque una funzione) |
Composizione
Se \(f : X \to Y\) e \(g : Y \to Z\), la composizione \(g \circ f : X \to Z\) è definita da \[(g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big).\]
Attenzione alla notazione: si scrive \(g \circ f\) ma “si fa prima \(f\) e poi \(g\)” (un modo per ricordarselo è leggere “\(g\) dopo \(f\)”).
La composizione in generale non è commutativa. Esempio con \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), dove \(f\) raddoppia il numero (\(f(x) = 2x\)) e \(g\) lo manda nel successivo (\(g(x) = x + 1\)):
\[(f \circ g)(x) = f(x+1) = 2x + 2, \qquad (g \circ f)(x) = g(2x) = 2x + 1.\]
Sono diverse: composizione è un’operazione non commutativa.
Anteprima: applicazioni lineari
Quando \(X\) e \(Y\) sono spazi vettoriali, le applicazioni interessanti sono quelle che “rispettano le operazioni” degli spazi vettoriali: sono le applicazioni lineari, argomento della prossima lezione. Quanto visto finora (spazi, basi, sottospazi) è il materiale necessario per definirle.
Verifica di comprensione
1. Sia \(v_1 = (1,1)\), \(v_2 = (1,-1)\). Calcola le coordinate di \((3,5)\) in questa base.
Soluzione
Sistema \(\{a_1 + a_2 = 3;\ a_1 - a_2 = 5\}\): sommando \(a_1 = 4\), sottraendo \(a_2 = -1\). Verifica: \(4(1,1) - (1,-1) = (3,5)\).2. Qual è la dimensione dello spazio dei polinomi di grado minore di \(7\)? E dei polinomi senza limiti di grado?
Soluzione
Dimensione \(7\), base \(1, x, \dots, x^6\). Senza limiti di grado: dimensione infinita.3. Perché l’unione di due sottospazi in generale non è un sottospazio?
Soluzione
Perché non è chiusa rispetto alla somma: con \(U\) e \(W\) i due assi di \(\mathbb{R}^2\), la somma di \((1,0)\) e \((0,1)\) è \((1,1)\), che non sta in nessuno dei due assi (e quindi non nell’unione). Bisogna prendere lo span dell’unione, cioè la somma \(U + W\).4. \(U\) e \(W\) sono i piani di \(\mathbb{R}^3\) di equazioni \(y = 2x\) e \(z = -x\). Calcola \(\dim(U \cap W)\) e dimmi se la somma è diretta.
Soluzione
\(\dim U = \dim W = 2\); l’intersezione è la retta \(\{y = 2x,\ z = -x\}\), cioè \(\mathrm{span}((1,2,-1))\), di dimensione \(1\) (formula di Grassmann: \(2 + 2 - 1 = 3\), quindi \(U + W = \mathbb{R}^3\)). L’intersezione non è banale, quindi la somma non è diretta e la decomposizione \(v = u + w\) non è unica.5. Da una forma parametrica, come si ricava rapidamente una base del sottospazio?
Soluzione
Si assegna il valore \(1\) a un parametro e \(0\) a tutti gli altri, ottenendo un vettore; si ripete per ciascun parametro. I vettori così ottenuti formano una base.6. \(f(x) = 2x\) e \(g(x) = x+1\): sono uguali \(f \circ g\) e \(g \circ f\)?
Soluzione
No: \((f \circ g)(x) = 2x + 2\), \((g \circ f)(x) = 2x + 1\). La composizione non è commutativa.Glossario
| Termine | Significato |
|---|---|
| Campo (\(K\)) | insieme di scalari con le quattro operazioni (es. \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{C}\)) |
| Base | lista di vettori che genera \(V\) ed è linearmente indipendente |
| Coordinate | gli unici coefficienti \(a_i\) con cui si esprime \(v\) in una data base |
| Base canonica | la base \(e_1,\dots,e_n\) di \(\mathbb{R}^n\); in quella base le coordinate coincidono con la \(n\)-upla |
| Dimensione | numero di elementi di una qualsiasi base dello spazio |
| Funzione indicatrice | funzione che vale \(1\) su un punto e \(0\) altrove; base degli spazi di funzioni su insiemi finiti |
| Forma parametrica | descrizione di un sottospazio tramite \(k\) parametri (come lo span) |
| Forma cartesiana | descrizione di un sottospazio tramite \(n-k\) equazioni sulle coordinate |
| Span | sottospazio vettoriale generato da una lista di vettori (tutte le loro combinazioni lineari) |
| Somma diretta (\(U \oplus W\)) | somma con intersezione banale \(\{0\}\): decomposizione \(v = u + w\) unica |
| Formula di Grassmann | \(\dim(U+W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W)\) |
| Applicazione | legge che associa a ogni \(x \in X\) un unico \(y \in Y\) |
| Composizione (\(g \circ f\)) | \((g \circ f)(x) = g(f(x))\); “prima \(f\), poi \(g\)” |
Note sulla fonte
Documento basato sulle due registrazioni della lezione del 23/09/2026 (1-transcript.txt nella stessa cartella; verbatim, senza le correzioni qui sopra). Nessuna slide è stata allegata all’ordine: il materiale di riferimento indicato in aula sono le slide del corso di triennale (reperite online), che coprono tutto il contenuto qui sopra. Dove l’audio era disturbato, gli esempi numerici sono stati ricostruiti in forma coerente (vedi i richiami nei callout).